FORMELSAMLING

Har du brug for en lommeregner, så tryk på dette ● symbol. Symbolet kan være placeret flere steder på siden, men fortrinsvis i højre side ved hvert nyt afsnit.

☺TIL TOPPEN

●

1.0. Regneregler og formler

Matematiklæreren til lille Peter: "Dengang jeg var i din alder kunne vi alle de formler."

Lille Peter til læreren: " Dengang havde du også en anden lærer."

1.1. Enheder.

Metersystemet blev indført i Danmark ved lov af 4. maj 1907. Systemet opstilledes af den franske nationalforsamling i 1790 og baseredes på meteren hvis længde oprindelig fastsattes til en timilliontedel af afstanden mellem Nordpolen og Ækvator. I slutning af 1800-tallet udførtes en meterprototype (normalmeteren) af platin og iridium, som opbevares i "Det internationale bureau for mål og vægt" i Sèvres ved Paris. Den danske kopi opbevares i København.

Nyere målinger har vist at grundlaget for definitionen ikke er korrekt og man vedtog derfor en ny definition: 1 meter er 1.650.763,73 bølgelængder af det orangerøde lys, som afgives fra elektrisk påvirket krypton 86 (en sjælden luftart i atmosfæren). Målesystemet er afpasset til titalssystemet.

De græske forstavelser kilo, hekto og deka, der betyder henholdsvis 1000, 100 og 10 og de latinske forstavelser deci, centi og milli, der betyder henholdsvis tiendedel, hundrededel og tusindedel, er de almindeligste.

Oversigt over forstavelser:

Nedenstående viser de mest brugte benævnelser.

1 tønde land = 5516 m²

Massefylde af et stof er det antal g, som 1 cm³ af stoffet vejer. Da vand har massefylden 1, vil det sige at 1 dm³ = 1 liter = 1 kg

Se evt. afsnittet om omregning fra gamle danske mål til metersystemet.

☺TIL TOPPEN

●

1.2. Areal og rumfang

Arealer

Ved arealet af en figur forstås det antal arealenheder, figuren indeholder. Som enhed for arealmåling benyttes et kvadrat med længdeenheden som side. Et kvadrat med siden 1 m kaldes en kvadratmeter, skrives 1 m².

Arealenheder:

Se evt. afsnitte om gl. danske mål

Arealformler:

☺TIL TOPPEN

●

1.3. Potens.

aⁿ = kaldes en ”potens”, og udtales a i n’te.

a hedder ”roden” (grundtallet eller basis) og n er ”eksponenten”.

aⁿ betyder at a skal gange med sig selv n antal gange.

Eksempel: 2² = 2 x 2 = 4.

Eksempel: 2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128.

Fortegns regler:

Heraf følger:

Alle potenser med positiv rod (grundtal) er positive (1) og (2).

Alle potenser med negativ rod (grundtal) er positive, når eksponenten er et lige tal (3).

Alle potenser med negativ rod (grundtal) er negative, når eksponenten er et ulige tal (4).

- men læg mærke til disse "fortegnsmysterier":

Bemærk forskellen! Hvis der ikke er en parentes, "styrer" eksponenten kun ét led.

Et produkt er nul, når blot én af faktorerne er nul.

Tallet 1 multipliceret med sig selv et vilkårligt antal gange er 1.

Regneregler for potenser:

A. Addition og subtraktion

"Man kan kun addere eller subtrahere ensbenævnte størrelser. Det vil sig, at roden skal være den samme og eksponenten skal være den samme".

B. Multiplikation af potenser med samme rod (grundtal)

"Man multiplicerer potenser med samme rod ved at beholde roden og addere eksponenten".

C. Multiplikation af potenser med samme eksponent

"Man multiplicerer potenser med samme eksponent ved at multiplicere roden og beholde eksponenten".

Skrives det forannævnte udtryk således at venstre og højre side byttes, får vi:

- hvilket i ord vil sige:

"Man opløfter et produkt til potens ved at opløfte hver faktor for sig".

D. Division af potenser med samme rod (grundtal)

"Man dividere potenser med samme rod ved at beholde roden og subtrahere nævnerens eksponenten fra tællerens".

- men læg mærke til følgende tre eksempler:

Grundbegrebet med at eksponenten står for det antal gange, roden skal multipliceres med sig selv, er hermed slået i stykker. Udtrykkene a¹, a⁰ og a ^{- 2} har ved anvendelse af divisionsreglen fået en ny betydning.

E. Division af potenser med samme eksponent

"Man dividere potenser med samme eksponent ved at beholde eksponenten og dividere rødderne".

Skrives det forannævnte udtryk således at venstre og højre side byttes, får vi:

- hvilket i ord vil sige:

"Man opløfter et produkt til potens ved at opløfte hver faktor for sig".

F. Opløftning af potens til ny potens

"Man opløfter en potens til en ny potens ved at beholde roden og multiplicere eksponenterne".

Se evt. potenstabellen hvor tallene 1 - 100 er opløftet i henholdsvis 2. og 3. potens.

☺TIL TOPPEN

●

1.4. Kvadratrod.

², udtales den anden rod af a eller kvadratroden af a. Skrives normalt  (2-tallet er underforstået) og betyder at man skal finde det tal der gange med sig selv giver a.

Eksempel: = 25, fordi 25 ganget med sig selv netop giver 625.

Kvadratroden af et tal kan kun være positivt og man kan ikke uddrage kvadratroden af et negativt tal.

- eller udtrykt i ord: "Den n'te rod af et tal a, er det tal, som har samme fortegn som a, og som opløftet til n'te potens giver a".

Se evt. rodtabellen, hvor kvadrat- eller kubikroden kan findes for et tal under 100.

☺TIL TOPPEN

●

1.5. Brøkregning.

Brøker.

En brøk består af en brøkstreg, samt et tal over brøkstregen og et tal under brøkstregen. Tallet over brøkstregen kaldes en tæller (i toppen) og tallet under brøkstregen kaldes en nævner (forneden).

I almindelighed skrives en brøk som a / b (læses "a b-endedele") og brøken betyder, at a skal divideres med b (a : b). Brøker kan altså opfattes som et regnestykke. F.eks. er ½ det samme som 1 divideret med 2 (= 0,5).

En brøk kaldes uægte når tælleren er større end nævneren, f.eks. er 3/2. Modsat er en brøk ægte, når tælleren er mindre end nævneren, f.eks. 3/4.

Forkorte og forlænge

En brøk kan forlænges ved at gange med samme tal i tæller og nævner.

En brøk kan forkortes ved at man dividerer med samme tal i tæller og nævner (tallet skal gå op i både tæller og nævner).

Blandede tal.

Blandede tal består af et helt tal og en ægte brøk med et underforstået plus imellem (f.eks. 3½).

Et blandet tal laves om til uægte brøk ved i tælleren at skrive det hele tal gange nævneren og tillægge brøkens tæller. Nævneren bibeholdes uforandret.

Et eksempel: 3½ skal laves om til en uægte brøk. I tælleren skrives 3 x 2 + 1 = 7. Nævneren bibeholdes uforandret, altså 2. Den uægte brøk bliver da 7/2.

I flere tilfælde (f.eks. gymnasiet) skal facit normalt angives som forkortet uægte brøk og ikke som blandet tal.

Multiplikation (gange).

Man ganger en brøk med et tal ved at gange tælleren med tallet (og beholde nævneren). Forkort evt. først.
Et eksempel: 3/14 x 4 = 3 x 4/14 = 12/14 = 6/7.

Man ganger et tal med en brøk ved at gange med tælleren og dividere med nævneren. Forkort evt. først.

Et eksempel: 5 x 1/3 = 5/3 = 1 2/3.

Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. Forkort evt. først.

Et eksempel: 2/3 x 6/5 = 2 x 6 / 3 x 5 = 12 / 15 = 4/5 (kan forkortes med 3).

Division (dividere)

Man dividerer en brøk med et tal ved at gange nævneren med tallet (og beholde tælleren). Forkort evt. først!
Et eksempel: 21/5 : 7 = 21 / 5 x 7 = 21/35 = 3/5 (kan forkortes med 7).

Man dividerer to brøker ved at gange med "den omvendte" brøk ( eller gange over kors).
Et eksempel: 3/4 : 2/3 = 3/4 x 3/2 = 3 x 3/ 4 x 2 = 9/8 = 1 1/8.

lndgår et blandet tal i et gange- eller delestykke, laves det om til uægte brøk.

Addition (+ stykker)

Brøker kan lægges sammen ved at finde en fællesnævner (et tal som begge nævnere går op i). Brøkerne forlænges, så de netop får en fælles nævner.

Et eksempel: 1/2 + 1/3; fællesnævneren er 6 (2 x 3); Den første brøk forlænges med 3 og den næste med 2, hvilket medfører: 3/6 + 2/6 = 5/6.

Subtraktion (- stykker)

Brøker kan trækkes fra hinanden ved at finde en fællesnævner (et tal som begge nævnere går op i). Brøkerne forlænges, så de netop får en fælles nævner.

Et eksempel: 1/2 - 1/3; fællesnævneren er 6 (2 x 3); Den første brøk forlænges med 3 og den næste med 2, hvilket medfører: 3/6 - 2/6 = 1/6.

Brøkers fortegn

Hvis tæller og nævner har samme fortegn, er brøken positiv.

Hvis tæller og nævner har forskellig fortegn, er brøken negativ.

Andre regler

En nævner må aldrig være nul.

Et helt tal kan opfattes som en brøk med nævneren 1 (f.eks. 3 = 3/1). Kaldes også en stambrøk.

Er tæller og nævner lige store (16/16), er brøken lig med 1 (uegentlige brøker).

Forekommer der brøker i en brøks tæller og nævner, taler man om brøks brøk eller bruden brøk.

2 brøker, hvis produkt er 1, kaldes reciprokke.

Se evt. omsætningstabellen, hvor brøker mellem 1 og 1/100 kan laves om til decimaltal.

☺TIL TOPPEN

●

1.6. Pythagoras.

Pythagoras (580 - 500 f. K.), græsk filosof, matematiker og astronom fra Samos. Pythagoras har intet skrevet, og man ved derfor ikke, hvor meget der stammer fra ham selv. Følgende tilskrives dog Pythagoras: sætninger vedrørende den retvinklede trekant (bl.a. den "pythagoræiske læresætning", se nedenfor), opdagelsen af irrationelle tal, konstruktion af de 5 regulære polyedre, beregning af vinkelsummen i en trekant samt løsning af en andengradsligning ved konstruktion.

Hvis to af siderne i en retvinklet trekant er kendt, kan den tredje side altid findes.

I en 3 - 4 - 5 trekant har siderne et ganske bestemt indbyrdes forhold. Siderne kan gøres større eller mindre med en vilkårlig faktor og trekanten vil stadig være retvinklet.

Hvis man f.eks. ønsker at gøre en bestemt side 6 gange større, skal de andre sider ligeledes gøres 6 gange større.

Se evt. afsnittet om eksempler på Pythagoras trekanter.

☺TIL TOPPEN

●

1.7. Trigonometri

Læren om at bestemme liniestykkerne i en trekant ud fra nogle givne stykker (vinkler). I trigonometrien benyttes følgende begreber: cosinus, sinus og tangens.

Følgende gælder for en retvinklet trekant ABC (se evt. de mest almindelige betegnelser i en trekant):

Relationer mellem sider og vinkler i en retvinklet trekant ABC.

Formler for trekantsberegninger:

For at opgaven skal kunne løses, skal der altid være mindst tre oplysninger kendte (dog ikke tre vinkler).

☺TIL TOPPEN

●

1.8. Trekanter

Vinkel A's modstående side kaldes altså for a, og siderne b og c er vinkel A's hosliggende sider.

Trekantens sider og vinkler kaldes trekantens stykker.

Vinkelsummen i en trekant er altid 180° og nabovinklerne  til vinklerne i en trekant er tilsammen 360°.

Forskellige typer trekanter

Spidsvinklet trekant er en trekant, hvor alle vinkler er spidse (under 90°).
 

Stumpvinklet trekant er en trekant, hvor en af vinklerne er stump (over 90°). Der kan ikke være to stumpe vinkler i en trekant.
 

Ligebenet trekant
En trekant, hvor to af siderne er lige lange, kaldes en ligebenet trekant. I en ligebenet trekant er vinklerne ved grundlinien AC lige store, altså A = C. Vinkel B kaldes topvinklen.

I en ligebenet, retvinklet trekant, hvor de to øvrige vinkler (grundvinklerne)  er 45º, vil hypotenusen være gange større end kateterne ( = 1,414).

Ligesidet trekant
En trekant, hvor alle siderne er lige lange, kaldes en ligesidet trekant. I en ligesidet trekant er vinklerne lige store, dvs. A = B = C = 60°.
Højden i en ligesidet trekant er lig den halve side ganget med . En ligesidet trekants areal er a²/4 x , når siden er a.

Ensvinklede trekanter

For ensvinklede trekanter gælder, at forholdene mellem ensliggende sider er lige store. Det kan udtrykkes således: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

I en retvinklet trekant, hvor de spidse vinkler er 30° henholdsvis 60°, er hypotenusen dobbelt så stor som den mindste katete b og den største katete a er gange større end den mindste katete b ( = 1,732).

☺TIL TOPPEN

●

1.9. Regneregler for parenteser

☺TIL TOPPEN

●

2.0. Kloak

2.1. Promillefald

En ret linie der ikke er vandret, har en hældning i forhold til vandret.

1.  Højdeforskel (H) = Længde x hældning / 1000 = L x ‰ / 1000

2.  Hældning (‰). = Højdeforskel x 1000 / længde = H x 1000 / L

3.  Længde (L) = Højdeforskel x 1000 / Hældning = H x 1000 / ‰

På ældre afløbstegninger kan hældningen være angivet som en brøk, f.eks. 1/40 eller 1 : 40, hvilket betyder, at ledningen falder 1 m på længden 40 m. Udtrykket kan omregnes til promille ved at dividere 1000 med forholdstallet, altså 1000 / 40 = 25 ‰.

Se evt. også omsætningstabellen mellem promillefald og grader eller promillefald og forholdstal.

☺TIL TOPPEN

●

2.2. Regler for koteberegning

Hvis der kun er angivet 1 kote ud for brønden regnes den for at være midte brønd.

Bundkoter angives normalt med 2 decimaler (centimeters nøjagtighed), men med 3 decimaler hvis ledningen ligger med svag hældning (under 10 ‰).

Promiller angives normalt med hele tal, men hvis ledningen ligger med svag hældning (under 10 ‰) kan den angives med 1 decimal.

Bundløb i brønde har mindst samme fald som hovedløbet, hvis ikke andet er nævnt.

Afstande måles som regel fra midte brønd til midte brønd hvis der kun er angivet én bundkote. Er der angivet to bundkoter måles afstanden fra indløbet henholdsvis udløbet.

☺TIL TOPPEN

●

2.3. Forhold til fundamenter

Reglerne fra DS 415, ”norm for fundering” siger:

Ved fundamenter, hvor bredden overstiger 1 m (f.eks. søjlefundamenter eller lign.), regnes a = 3 i en afstand indtil 2 x b fra fundamentet.

Reglerne gælder for:

• afstivede udgravninger i ler og sand

• åbne udgravninger i ler og sand - men ved åbne udgravninger i sand flyttes anlægsfladen op til et krydsningspunkt mellem overkant betongulv og fundamentets yderkant.

Udgangsformlerne kan skrives som:

1. d = l/a

2. l  = d x a

hvor d = dybde, l = længde og a = anlæg - men kan også udtrykkes med ord:

1.  Skal der ekstrafunderes?

“Inden for de første 2,00 m af længden divideres med 3, den resterende del af længden divideres med 1,5”.

Højdeforskellen lægges til udgravningskoten og ny underkant af fundament er fundet.
 

2.  Hvor langt skal ledningen/brønden flyttes?

“Inden for de første 0,67 m af dybden ganges med 3, den resterende del af dybden ganges med 1,5”.

Afstanden tillægges en halv gravebredde/gravediameter og midte af ledning henholdsvis brønd er fundet.

☺TIL TOPPEN

●

2.4. Tilslutningskoter

Når to forskellige rørdimensioner skal samles, vil der altid være et højdetab, der skal beregnes.

Ved cirkulære rør vil højdeforskelle (h) blive = (D - d)/2. Denne højdeforskel skal lægges til det store rørs bundkote og tilslutningskoten er fundet, altså TK = (D - d)/2 + BK.

Ved spidsbundede rør vil højdeforskelle (h) blive = (D - d)/2 + 1/8 D. Denne højdeforskel skal lægges til det store rørs bundkote og tilslutningskoten er fundet, altså TK = (D - d)/2 + 1/8 D + BK.

Eksemplerne viser en stiklednings tilslutning med en hovedledning, men beregningsmetoden kan også anvendes ved samling af to ledninger med et almindeligt grenrør.

☺TIL TOPPEN

●

2.5. Promillefald og grader

Ovenstående viser at:

en 15° bøjning har en promilleændring på   268 ‰,

en 30° bøjning har en promilleændring på   577 ‰ og

en 45° bøjning har en promilleændring på 1000 ‰.

Endvidere at:

en 88,5° fodbøjning har et indbygget fald på 26 ‰ og

en 87,5° fodbøjning har et indbygget fald på 44 ‰.

En vinkel på 1° svarer til ca. 17,5 ‰ (- men man kan ikke gange en vilkårlig vinkel med 17,5).

☺TIL TOPPEN

●

2.6. To rør i samme grav

Afstanden - a - mellem midte af 2 rør lagt i samme grav skal mindst være:

☺TIL TOPPEN

●

3.0. Vej og brolægning

3.1. Skråningsanlæg

Skråningsanlægget er et forhold mellem længden og dybden og nedenstående formeler kan derfor udledes:

OB og BB er henholdsvis overbredde og bundbredde.

☺TIL TOPPEN

●

3.2. Fortov

Nedenstående skitse viser et normal tværsnit (efter DS 1136) af et fortov.

☺TIL TOPPEN

●

3.3. Chaussebrolægning

☺TIL TOPPEN

●

4.0. Afsætning

4.1. Nivellering

Nivellering betyder at måle eller at flytte højder (koter). Ved et punkts kote forstås dets højde over den matematiske jordoverflade (havets middelniveau). Koter måles i meter med to eller tre decimaler alt efter behov. Nye koter kan findes efter nedenstående princip.

Fra 1. januar 2005 afløstes det gamle kotesystem DNN (Dansk Normal Nul) af et mere tidssvarende system, nemlig DVR 90 (Dansk Vertikal Reference). Systemet er indført for at undgå de fejl, der er opstået i det gamle højdesystem (DNN), bl.a. fordi landet vipper som følge af eftervirkninger fra istiden.

Fremover skal det tydeligt fremgå, hvilket kotesystem den pågældende kote hører under. Angivelser af koter skal derfor angives med betegnelsen DVR 90, f.eks. 17,63 / DVR 90.

Forskelle mellem DVR 90 og DNN

Oversigten viser forskellen i de enkelte kommuner. Forskellen mellem de to kotesystem varierer mellem +2 cm til -14 cm. Forskellen er i øvrigt størst i Sønderjylland.

Forskel:

En negativ koteforskel betyder at området har sat sig igennem årene. DVR 90 koten er således mindre end DNN koten i det meste af landet, dog undtaget Nordjylland. Dvs. at nulpunktet er hævet i det meste af landet.

Ved omregning fra det ene til det andet system anvendes forskellen for kommunen fra oversigten således:

”Gammel kote plus forskel med fortegn = ny kote”.

”Ny kote minus forskel med fortegn = gammel kote”.

Varians:

Udtryk for afvigelse inden for kommunen. En langstrakt kommune Nord-Syd vil typisk have en stor varians, fordi Danmark er vippet Nord-Syd. Variansen er opgivet i mm.

Læs evt. fakta om højdesystemerne eller få flere informationer hos Kort- og Matrikelstyrelsen.

☺TIL TOPPEN

●

4.2. Matematisk Koordinatsystem

Systemet består af to tallinier der står vinkelret på hinanden. Krydsningspunktet er liniernes fælles nulpunkt og den positive retning vises med pile. Kan angive et punkts beliggenhed i planen.

Talliniernes positive retninger vises ved pile. Den vandrette linie kaldes x-aksen eller abscisseaksen og den lodrette linie kaldes y-aksen eller ordinataksen. Undertiden træffer man også betegnelserne førsteakse (1. akse) og andenakse (2. akse). Tilsammen kaldes de koordinatakserne.

Skæringspunktet kaldes nulpunktet og betegnes som regel med 0,0. De 4 "rum" som begrænses af akserne kaldes 1., 2., 3. og 4. kvadrant.

Den positive retning i planet kan vises ved en buet pil modsat urvisernes drejning.

Man kan angive et punkts beliggenhed ved at fortælle, hvor langt det ligger fra x-aksen (afstanden kaldes punktets abscisse), og hvor langt det ligger fra y-aksen (punktets ordinat). Visse steder kalder man abscissen for sidetallet og ordinaten for højdetallet.

Afstandene adskilles af komma og omgives af en parentes, f. eks.:

(2,3) - læses: to komma tre

(0,-5) - læses: nul komma minus fem.

Første tal (bogstav) er altid abscissen - x-værdien (afstanden fra y-aksen) - og andet tal (bogstav) er altid ordinaten - y-værdien (afstanden fra x-aksen).

Punktet A har abscissen 4 (x-værdi) - måles på x-aksen fra nulpunktet til skæringspunktet med den vinkelrette fra punkt A. Punkt A har ordinaten 3 (y-værdi) - måles på y-aksen fra nulpunktet til skæringspunktet  med den vinkelrette fra punkt A.

Vil man angive punktet A's beliggenhed, skriver man: A: (4,3). De to tal (bogstaver) i parentesen kaldes punktet A's koordinater.

Alle punkter i 1. kvadrant har positiv abscisse og positiv ordinat (+,+). Punkter i 2. kvadrant har negativ abscisse og positiv ordinat (-,+). Punkterne i 3. kvadrant har punkterne både negativ abscisse og negativ ordinat (-,-). Alle punkter i 4. kvadrant har positiv abscisse og negativ ordinat (+,-).

Læg mærke til at det matematiske system er forskelligt fra landskoordinatsystemet (benyttes inden for landmåling), idet sidstnævnte system har x – aksens positive retning vendt modsat det matematiske og omløbsretningen er med uret.

Vinkler måles i grader °, bueminutter ’ og buesekunder ” og systemet består i alt af 360°.  Et eksempel kunne være 59° 23’ 41”.

Vinkler kan også udtrykkes i Gon^G eller decimal heraf (f.eks. 59,47^G), og dette system har i alt 400^G og  bruges i landskoordinatsystemet (landmåling).

☺TIL TOPPEN

●

4.3. Afsætning af punkter

Et punkt, der skal afsættes i marken, vil i almindelighed være angivet enten relativt i forhold til andre punkter ved hjælp af vinkler, afstande eller ved koordinater (retvinklede eller polære) i lokale systemer eller i landskoordinatsystemet. I det følgende skal blot gennemgås nogle enkelte metoder til afsætning af punkter.

1.1 Afsætning med teodolit.

Ortogonal afsætning (retvinklede linier – perpendikulærer).

Ved ortogonalafsætning går man ud fra en ret linie mellem to kendte punkter A og B med frit sigte imellem. Afstanden beregnes fra A og B til punkt P's projektion F på AB. Derefter afsættes F ved et af disse "fodmål".

Med et vinkelprisme afsættes normalen til AB i det afsatte punkt F. I den pågældende retning afsættes dernæst den søgte afstand FP (perpendikulærlængden).

Ved krav om nøjagtigere afsætninger bør teodiliten anvendes i F i stedet for prisme, ligesom fodmålene som kontrol bør afsættes til F fra begge udgangspunkterne A og B.

Fremskæring (to vinkler).

Afsætning af et punkt ved fremskæring sker fra to givne punkter, f.eks. A og B, idet vinklerne v og z er kendte. Der anvendes som regel to teodolitter, som stilles op over hvert af de givne punkter.

Skæringen mellem sigtelinierne fastlægger derefter punktets  P's placering.

Polær afsætning (vinkel + afstand).

Ved afsætning efter polarmetoden går man ud fra en kendt i terrænet given retning (f.eks. x - aksen). Teodolitten opstilles i punkt A (aksernes krydsningspunkt), og ud fra x - aksens retning afsættes den givne vinkel v°. Ved at afsætte den kendte afstand i meter ud ad den afsatte retning fastlægges det søgte punkt P.

Afsætning efter polarmetoden er med fremkomsten af elektromagnetiske distancemålingsinstrumenter blevet almindelig udbredt blandt andet ved afsætning af veje og montagebyggeri.

Se evt. mere om den polære afsætning.

Har du rektangulære koordinater, dvs. x- og y-koordinater i et koordinatsystem, er det muligt at omregne til polære koordinater.

☺TIL TOPPEN

●

4.4. Kurveafsætning

Afsætning af en kurve er som regel en del af en cirkel eller en cirkelbue. Det er derfor vigtigt at kende de mest almindelige forhold om cirklens geometri.

På ovenstående og efterfølgende skitser er anvendt følgende forkortelser:

En kurve eller cirkelbue kan afsættes efter flere forskellige metoder, f.eks.:

-         fjerdedelsmetoden (brolægger- eller pilhøjdemetoden)

-         kurvespejl

-         indrykningsmetoden

-         ved kurvetabel

-         teodolit, vinkelspejl, snor, målebånd osv.

men fælles er, at i de fleste tilfælde skal begge tangentpunkter og radius være kendt.

Fastlæggelse af kurvetoppunkt og pilhøjde.
Ved de fleste afsætningsopgaver er kurvens tangentpunkter og radius som regel givet, hvorfor opgaven bliver at fastlægge kurvetoppunktet (Ktp) og pilhøjde (p), hvis placering og størrelse man skal kende ved de senere beskrevne afsætningsmetoder.

Kurvetoppunkt og pilhøjde kan findes på følgende måde:

Tangenterne forlænges til skæring i punktet B.

Den halve korde K/2 udmåles og afsættes ud ad tangenten målt fra tangentpunktet A eller C.

Fra punkt D afsættes den vinkelrette – med kurvespejl, vinkelprisme eller teodolit – mod toppunktet KT.

Fra punkt E gentages fremgangsmåden fra modsat side.

Kurvens toppunkt er nu bestemt som punktet G, hvor de to vinkelrette linier skærer hinanden – på topvinklens halveringslinier.

Pilhøjden er samtidig bestemt.
 

Afsætning af cirkelbue, når tangentpunkterne er kendt.

 
Givet er to tangentpunkter og to retninger.

Kantstensflugterne forlænges til de skærer hinanden i O. Korden mellem tangentpunkterne TP trækkes og midten m findes.

Fra O til m trækkes en linie.

Den halve korde afsættes fra TP i flugt med tangenten (kantstenen). I dette punkt oprejses en vinkelret, og hvor denne linie skærer tangenternes (kantstensflugternes) halveringslinie Om, ligger cirkelbuens toppunkt og cirkelbuens pilhøjde er fundet.

Man kan trække en ny korde. Finde midten af denne og oprejse en vinkelret i dette punkt. Derefter sættes den halve kordelængde ud ad tangentflugten fra TP, og i det fundne punkt oprejses en vinkelret. Hvor disse to vinkelrette skærer hinanden er fundet et nyt punkt på cirklen.

Metoden er fuldstændig nøjagtig. Man kan, hvis fuld nøjagtighed ikke er krævet, nøjes med den første del af afsætningen (finde pilhøjden), og til den øvrige del af afsætningen anvendes f.eks. fjerdedelsmetoden.

Brolæggermetoden eller fjerdedelsmetoden.

Givet er 3 punkter A, B og C på en cirkelbue.

Korden AC trækkes og midtpunktet M af korden findes, således at AM = MC og cirkelbuens pilhøjde bliver = BM.

Korden AB trækkes og på midten af denne oprejses en vinkelret linie, hvorpå afsættes P₁ = ¼ BM.

Fra dette punkt trækkes nye korder til A og B. På midten af disse oprejses vinkelrette linier, hvorpå afsættes pilhøjder P₂ = ¼ P₁.

Der kan nu trækkes eventuelle nye korder, hvorpå der på midten afsættes pilhøjder = ¼ af den sidst afsatte pilhøjde.

Metoden er kun tilnærmelsesvis rigtig og bør kun anvendes til lidt flade cirkelbuer (hvor centervinklen er lille).

Afsætning med kurvespejl.

Kurvespejlet er et særligt vinkelspejl, der består af to spejle anbragt på samme akse.

Afsætning af kurver og indstilling af vinkelspejl:

Tre punkter A, B, C er givet:

Vinkel B er nu fundet og der kan nu afsættes vilkårlige punkter på cirkelbuen.

To punkter samt tangentretningen er givet:

Med kurvespejlet indstillet på vinkel C kan alle ønskede punkter på kurven findes som de punkter, hvorfra stokkene i A og C viser sig i hinandens forlængelse i kurvespejlet.

Afsætning af kurver eller cirkelbuer med kurvespejl er en præcis metode, men er dog meget afhængig af den omhyggelighed og nøjagtighed afsætteren er i stand til at yde.

Indrykningsmetoden.

Givet er tangentpunkterne og cirklens radius.

Da vinklerne v og y sædvanligvis er meget små og vinkel v = 2 x y kan man sætte h1 = h2/2, altså at den første indrykning h1 er halvt så stor som de øvrige h2.   Første indrykning h1 = a2 / 2R i meter Øvrige indrykninger h = a2 / R i meter.   Udstikningen udføres således, at man i tangentens forlængelse afsætter liniestykket s og herfra afsætter h1 til skæring med liniestykket s, som danner vinkel y med tangenten.   I forlængelse af denne linie afsættes igen liniestykket s, og herfra afsættes h2 til skæring med liniestykket s, som danner vinkel v med det forlængede liniestykke s, og således fortsættes.

Kurven udstikkes fra begge tangentpunkter og bør som kontrol fra begge sider gå et stykke over midten.

Hvis tangentens retning og cirkelbuens radius er nøjagtig opgivet, er metoden også rigtig. Kun afsætningen af h₁ har en lille unøjagtighed, der ikke har nogen praktisk betydning. Metoden bør dog ikke anvendes ved cirkelbuer under 200 m.

Afsætning af kantstensrundinger og tangentpunkter.

Ved enhver hjørneafsætning, hvor der bruges  buede kantsten i cirkulær form skal overgangen mellem den lige flugt og den buede flugt være jævn, dvs. at man skal finde tangentpunkterne.

Afsætning med kurvetabel

Nøjagtig afsætning af en kurve kan opnås, hvor henholdsvis korde, pilhøjde og evt. buelængde kan beregnes ud fra radius og centervinklens størrelse.

Ligeledes her er tangentpunkterne kendte.

Se evt. tabellen for bue- og kordelængder osv.

☺TIL TOPPEN

●

5.0. Tegnforklaring

5.1. Matematiske tegn

	a	=	b		a er lig b
	a	≠	b		a er forskellig fra b
	a	>	b		a er større end b
	a	<	b		a er mindre end b
	a	≥	b		a er større eller lig med b
	a	≤	b		a er mindre eller lig med b
	a	<	b < c		b ligger mellem a og c
	a	~	b		a er omtrent lig med b, svarer til
	∟A				vinkel A
	BAC				vinkel A
	ΔABC				trekant ABC
	l ≠ m				linie l er parallel med m
	a1, a2, a3				a et, a to, a tre
	a1, a2, a3				a i første, a i anden, a i tredie
					kvadratrod a
	3				tredje rod af a
	n				n’te rod af a
	%				procent (af hundrede)
	‰				promille (af tusinde)
	∞				uendelig
	=>				medfører
	→				går mod, nærmer sig
	<=>				det samme som, lig med,
	∑				sumtegn, sammenlagt
	log a				logaritmen til a
	anlog a				antilogaritmen til a
	sin v				sinus til vinkel v, sinus v
	cos v				cosinus til vinkel v, cosinus v
	tg v				tangens til vinkel v, tangens v
	cot v				cotangens til vinkel v, cotangens v

☺TIL TOPPEN

●

5.2. Det græske alfabet

☺TIL TOPPEN

●

5.3. Romertal.

Romertal, der blev anvendt i Midteuropa indtil det 12. århundrede, anvendes i dag kun som ordenstal og til f.eks. angivelse af årstal. Grundtallene består af bogstaverne:

Der er intet tegn for nul.

Taltegn, der gentages umiddelbart efter hinanden (dog max. 3 gange og undtaget tegnene V, L og D) lægges sammen, og står et mindre taltegn foran et større, skal det trækkes fra, men står det efter et større, skal det lægges til .

Eksempel: MCMLXXIV = 1000 + (1000 -100) + (50+10+10) + (5 -1) = 1974

Tegnet M kan dog godt gentages mere end 3 gange, f.eks. MMMMM = 5.000.

☺TIL TOPPEN

●

6.0. Diverse

6.1. Potenstabel

6.2. Rodtabel

6.3. Fra brøk til decimaltal

6.4. Pythagoras trekanter

6.5. Tal

De taltegn, vi bruger, stammer fra Indien og bragtes til Europa med arabiske købmænd. Med disse 10 taltegn (cifre) er vi i stand til at skrive et hvilket som helst antal, idet værdien af det enkelte tal, ikke blot bestemmes af cifret selv; men også af den plads (position), det indtager. Tomme pladser i en talrække udfyldes med nuller. Værdien af et taltegn stiger 10 gange for hver plads, det flyttes til venstre.

Vort talsystem er foruden at være et positionssystem også et titalssystem (der benyttes 10 cifre), formodentlig fordi vi har 10 fingre (at tælle med!). Der er intet til hinder for at lave andre talsystemer, og undertiden kan man blive nødsaget til at lave et nyt talsystem. "Huskerørene" i elektronregnemaskiner kan f. eks. kun udføre to funktioner (en i ladet og en i ikke ladet tilstand), og de tal, som en elektronregnemaskine skal behandle, må derfor kun indeholde 2 taltegn. Tallene opbygges efter et totalssystem (dualsystem).

Decimalsystemet. De ti cifre i titalssystemet er 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Skal man med tal angive et antal på ti, er vi altså i knibe, for ovennævnte cifre går ikke længere end til et antal på ni. Man vedtager derfor at skrive antallet ti således: 10, idet 1-tallet fortæller, at der er 1 tier, og nullet fortæller, at der er 0 enere.

På denne måde kan man skrive tal op til 99, men så er vi i knibe igen. Derfor vedtager man, at hundrede skrives således: 100, og her betyder 1-tallet, at der er 1 hundreder, og de to nuller fortæller, at der et henholdsvis 0 tiere og 0 enere. Således kan man fortsætte, så længe man vil, og man får decimalsystemet, som der gives en oversigt over nedenfor.

NB.: i USA er billion lig med milliard og trillion lig med billion. I Frankrig bruges milliard og billion i flæng om milliard.

Primtal

Et primtal er de hele positive tal, der kun er deleligt med 1 og sig selv.

Som eksempler kan nævnes (alle primtal under 1000):

☺TIL TOPPEN

●

6.6. Gamle danske mål.

☺TIL TOPPEN

●

6.8. Fibronaccisske talrække

I den Fibronaccisske talrække (fibo-tal) vokser det efterfølgende tal hver gang med det forrige tal. Sættes to tal, der står ved siden af hinanden i talrækken, i forhold til hinanden, opnås med stigende nøjagtighed det gyldne snit.

Eksempler på talpar: 5:8, 8:13, 13:21, 21:34, 55:89, osv.

Lidt taleksempler

Tager man et vilkårligt talpar, f.eks. 55:89 og foretager en udregning fås 55:89 = 0,618. Vender man rækkefølgen på tallene bliver resultatet 89:55 = 1,618. Dette kan gøres med ethvert talpar og resultaterne vil stadig være de samme. Prøv selv!

Jo højere tallene er jo større nøjagtig (1,6180339887 og 0,6180339887).

Udtrykket 1,618034 er i flere kredse benævnt som det græske bogstav φ (phi) eller som "Det gyldne Snit".

Ligeledes er udtrykket: (1 + )/2 = 1,618034 = φ.

1,618² = 2,618 (eller 1,618 + 1)

Hvis menneskets højde deles med 1,618034 fås en afstand der svarer til afstanden mellem fødderne og navlen.

☺TIL TOPPEN

●

6.9. Det Gyldne Snit

Det gyldne snit har altid været genstand for stor interesse. Ikke kun inden for matematikken, men også inden for arkitektur, kunst., botanik, biologi og fysik.

Enkelt udtrykt er det gyldne snit en deling af en linie i et indbyrdes bestemt forhold. Liniestykket AC deles ved B i 2 stykker, således at det mindste AB forholder sig til BC, som BC til hele liniestykket AC.

Udtrykt matematisk er forholdet 1:1,618 (den reciprokke værdi er 0,618).

Med voksende nøjagtighed kan følgende forhold benyttes (fra den fibronaccisske talrække):

5:8, 8:13, 13:21, 21:34, 34:55 osv.
 

Konstruktionen udføres således:
I liniestykkets ene endepunkt A oprejses den vinkelrette. Ud ad denne afsættes M = AC/2. En cirkel med centrum i M og radius AC/2 tegnes. CM trækkes; linien skærer cirklen i B₁, der nedfældes på AC i B.

Liniestykket AC er derved delt, således at det mindste AB forholder sig til BC, som BC til hele liniestykket AC.

☺TIL TOPPEN

●

6.10. Finhed

Sølv og guld anvendes sjældent rent. En blanding af det rene, ædle metal og et eller flere andre metaller kaldes en legering. Legeringens indhold af det rene metal (sølv) angives i promille (tusindedele), f.eks. 700 ‰ - ofte siger man dog bare, at finheden er 700.

Finheden af guld angives i karat. Af en 14 karats guldring er de 14/24 rent guld.

Eks. Der ønskes fremstillet en legering af 25 g 18 karats guld, 15 g 14 karats guld, 7,5 g rent guld og 12,5 g kobber. Hvad er legeringens finhed?

Først bestemmes indholdet af rent guld i hele legeringen:

Legeringens 60 g (25 + 15 + 7,5 +12,5) indeholder da (450 + 210 + 180) / 24 = 35 g rent guld. 1/24 af legeringen er 60/24 = 2,5 g. Finheden er 35/2,5 = 14. Legeringen har finheden 14 karat.

Finsølv er "rent" sølv. Da finholdigheden angives i tusindedele (promille), betegnes finsølv med tallet 1000. Sterlingsølv har finheden 925, og "3-tårnet" sølv har finheden 830.

Se evt. eksempler på guld-, platin- og sølvbarre.

☺TIL TOPPEN

●

6.11. Beauforts vindstyrke-skala

Beauforts skala er en inddeling af en vindstyrke udviklet i 1805 af den britiske admiral Francis Beaufort (1774-1856).

☺TIL TOPPEN

●

6.12. Chill-faktoren

Chill-faktoren beregnes ved at finde gradtallet på den vandrette akse og vindstyrken på den lodrette. Det tal man finder, er udtryk for, hvor kold temperaturen føles på kroppen, når man er ude i vejret.

© Copyright 2002 Kloakviden
webmaster@kloakviden.dk